Пространство элементарных исходов

<aside> 🎲 Пространство элементарных исходов/событий $\Omega$ (омега) - множество, содержащее все возможные результаты данного эксперимента, из которых в эксперименте происходит только один.

</aside>

$$ \Omega = \{ \omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n\} \\ \omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n \in \Omega $$

Пример: игральная кость. Когда мы её подбрасываем, выпадает какая-то одна из шести граней. Таким образом, для игральной кости пространством элементарных исходов будет множество из шести элементов, где каждый элемент — число очков на выпавшей грани

Случайные события

<aside> 🎲 Событиями называются подмножества пространства $\Omega$

</aside>

Рассмотрим всё ту же игральную кость и рассмотрим событие “выпало чётное число очков”. Этому событию удовлетворяют три исхода — грань с двумя, грань с четырьмя и грань с шестью очками. Таким образом, событие “выпало чётное число очков” это подмножество $\{\omega_2, \omega_4, \omega_6\}$ исходного множества $\Omega$.

Операции над событиями

<aside> 🎲 Сумма событий $A$ и $B$ (обозначается, как $A + B$) - это событие “произошло событие $A$ или произошло событие $B$” (объединение двух множеств $A$ и $B$).

</aside>

<aside> 🎲 Произведение событий $A$ и $B$ (обозначается, как $A \cdot B$) - это событие “произошло событие $A$ и произошло событие $B$” (пересечение двух множеств $A$ и $B$).

</aside>

<aside> 🎲 Дополнение одного события $A$ до другого события $B$ (обозначается как $B \setminus A$) - это событие “произошло событие $B$, но не произошло событие $A$” (разность)

</aside>

<aside> 🎲

**Дополнение события $A$ (**дополнение $A$ до $\Omega$) (обозначается, как $\overline{A}$) - событие “произошло событие ≤не $A$≥”

</aside>

Свойства операций над событиями

  1. Коммутативность сложения: $\forall A, B \subset \Omega: \quad A + B = B + A$
  2. Ассоциативность сложения: $\forall A, B, C \subset \Omega: \quad (A + B) + C = A + (B + C)$
  3. Дистрибутивность
    1. Умножения относительно сложения: $\forall A, B, C \subset \Omega: \quad A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$
    2. Сложения относительно умножения : $\forall A, B, C \subset \Omega: \quad A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$
  4. Двойное дополнение: $\overline{\overline{A}} = A$
  5. Дополнение $\Omega$ есть пустое множество $\oslash$ и наоборот, дополнение пустого множества $\oslash$ есть само множество $\Omega$
  6. Законы де Моргана:
    1. $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$
    2. $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$
  7. Тождества
    1. $A * A = A$
    2. $A + A = A$
    3. $A * \overline{A} = \oslash$
    4. $A + \overline{A} = \Omega$