<aside> 📕 Теорема: (локальная теорема Муавра-Лапласа)

$$ P_n(k) \sim \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \varphi\left( \frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right) $$

где $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$

</aside>

<aside> 📕 Функция Лапласа:

$$ \Phi(x) = \int\limits_{0}^x \varphi(t) \ dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{0}^x e^{-\frac{t^2}{2}} dt $$

Свойства:

1. $\Phi(-x) = \Phi(x)$
2. $\Phi(+\infty) = - \Phi(-\infty) = \frac{1}{2}$
3. $\Phi(x) \sim \frac{1}{2}, \ x \geq 5$
4. $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx = 1 \Rightarrow \int\limits_0^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx = \frac{1}{2} \Rightarrow$ </aside>

<aside> 📕 Интегральная теорема Муавра-Лапласа

$$ P(m_1 \leq \nu_n \leq m_2) \sim \Phi(x_2) - \Phi(x_1) $$

$$ x_1 = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}}, x_1 = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}}, $$

</aside>