<aside> 🎲 Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности события:
$$ P\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| \leq \varepsilon \right) \approx 2 \cdot \Phi\left(\varepsilon \cdot \sqrt{\frac{n}{pq}}\right) $$
где $\Phi(x)$ — функция Лапласа:
$$ \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int\limits_{0}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} \ dt $$
</aside>
<aside> 🎲 Пусть $\nu_n$ — число успехов в $n$ испытаниях Бернулли с вероятностью успеха $p$ $\left( \nu_n \sim \mathbf{Bin}(n, p)\right)$ Тогда:
$$ \frac{\nu_n}{n} \to^P p \ и \ P\left(\left| \frac{\nu}{n} - p\right| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{p(1-p)}{n \cdot \varepsilon}, \quad \forall \varepsilon > 0 $$
</aside>