<aside> 📕 Схема Бернулли — серия одинаковых независимых испытаний, каждое из которых имеет только два исхода
</aside>
Пример — подбрасывание монеты.
1 испытание : $\Omega = \{ W, L \}$, (win/loss)
$n$ испытаний: $\Omega = \{ W, L\}^n$
Обозначим за $p$ “вероятность успеха”. Тогда $q = 1-p$ — “вероятность неудачи”. За $\nu_n$ обозначим число успехов $n$ испытаниях
Вопрос: Сколько будет успехов в $n$ испытаниях?
<aside> 📕
Теорема Бернулли: Вероятность ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях равна:
$$ P(\nu_n = k) = P_n(k) = С_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} $$
</aside>
<aside> 🎲 Биномиальное распределение — это набор чисел: $\{ C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} , \ k = 0, 1, 2, \ldots\}$
| $\xi$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ | $n$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $p$ | $q^n$ | $C_n^1 \cdot p \cdot q^{n-1}$ | $C_n^2 \cdot p^2 \cdot q^{n-2}$ | $C_n^3 \cdot p^3 \cdot q^{n-3}$ | $\cdots$ | $p^n$ |
| </aside> |
<aside> 🎲 Вероятность первым $k-1$ испытаниям завершиться неудачей, а последнему — успехом, равна:
$$ P(\xi = k) = p \cdot q^{k-1} $$
</aside>
<aside> 🎲 Геометрическое распределение — это набор чисел: $\{ pq^{k-1}, \ k = 0, 1, 2, \ldots \}$
</aside>
<aside> 🎲 Пусть $P(\xi = k) = pq^{k-1}$ для любого $k \in \mathbb{N}$. Тогда для любых неотрицательных целых $n$ и $k$ имеет место равенство:
$$ P(\xi > n + k \ | \ \xi > n) = P(\xi > k) $$
Простыми словами: если событие произошло, то вероятность его повторного возникновения не уменьшается с течением времени. Другими словами, даже если что-то случилось много раз, это не делает его менее вероятным в будущем.