Вырожденная случайная величина

По сути она не случайная — задаётся на $\sigma$-алгебре $S = \{ \Omega, \oslash\}$, где $\xi$ принимает одно единственное значение $x_1 = C \in \R$

$\xi$ $С$
$P$ $1$
  1. Мат. ожидание равно $C$
  2. Дисперсия: $D(\xi) = M(\xi^2) - M^2(\xi) = C^2 - C^2 = 0$
  3. СКО, следовательно, тоже равно нулю

Индикатор события

$I_A$, принимает два значения: $0$, если событие $A$ произошло, и $1$, если не произошло. По сути это случайная величина, привязанная к одному-единственную испытанию Бернулли, или просто “счётчик успехов” для нескольких испытаний события $A$ с вероятностью $p$.

$I_a$ $0$ $1$
$P$ $q$ $p$
  1. Мат. ожидание равно $P(A)$
  2. Дисперсия: $D(\xi) = M(\xi^2) - M^2(\xi) = p - p^2 = pq$
  3. СКО, следовательно, равно $\sqrt{pq}$

Биномиальное распределение

$\xi$ — число успехов в $n$ испытаниях Бернулли, $\xi \in \mathbf{Bin}(p, n)$

$\xi$ $0$ $1$ $2$ $\ldots$ $n$
$P$ $q^n$ $C_n^1 \cdot p \cdot q^{n-1}$ $C_n^2 \cdot p^2 \cdot q^{n-2}$ $\ldots$ $p^n$
  1. Мат. ожидание равно $np$, так как $\xi$ — число успехов в $n$ испытаниях Бернулли (а это сумма случайных величин)
  2. Дисперсия находится аналогично (через сумму $n$ независимых испытаний) $= npq$
  3. СКО, следовательно, равно $\sqrt{npq}$

Геометрическое распределение

$\tau \in \mathbf{Geom}(p)$ — число испытаний Бернулли до первого успеха, $\tau_k = q^{k-1} \cdot p$