<aside> 📕 Функция распределения случайной величины $\xi$

$$ F_\xi(x) = P(\xi < x), \ x \in \R $$

</aside>

Пример: $\xi \sim \mathbf{Bin}(3, \frac{1}{2}) : \quad P(\xi = k) = C_3^k (\frac{1}{2})^k \cdot (\frac{1}{2})^{n-k} = C_3^k \cdot (\frac{1}{2})^3$

$$ F_\xi(x) = \begin{cases} 0, \quad x \leq 0 \\ \frac{1}{8}, \quad0 < x \leq 1\\ \frac{4}{8}, \quad1 < x \leq 2\\ \frac{7}{8}, \quad2 < x \leq 3\\ 1, \quad3 < x\end{cases} $$

Свойства функции распределения:

1. $0 \leq F_\xi(x) \leq 1, \quad x \in \R$

2. $P(x_1 \leq \xi \leq x_2) = F_\xi(x_2) - F_\xi(x_1), \quad x_1 < x_2$

   $$ \{\xi < x_2\} = \{\xi < x_1\} + \{x_1 \leq \xi \leq x_2\} $$

3. $F_\xi(+\infty) = 1$ и $F_\xi(-\infty) = 0$

4. Функция распределения непрерывна слева $\forall x_0$, то есть $\lim\limits_{x \to x_0} F_\xi(x) = F_\xi(x_0)$

5. Если случайная величина $\xi$ непрерывна, то $P(\xi = x_1) = 0$

<aside> 📕 Случайная величина $\xi$ называется непрерывной, если её $F_\xi(x)$ тоже непрерывна

</aside>