Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область $G$ (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки из области $G$, любое событие $A$ – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов $G$.
Геометрическая вероятность
события А определяется отношением $P(A)=\frac{m(A)}{m(G)}$, где $m(G)$ и $m(A)$ – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов $G$ и события $А$.
Плоскость разделена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии $2a$. На плоскость бросают иглу длиной $2l$.
Найти вероятность того, что игла пересечёт какую-либо прямую.
Решение:
Введём обозначения: $x$ — расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, $\varphi$ — угол, составленный иглой и этой прямой.
Иллюстрация к задаче
Понятно, что угол $\varphi$ принимает значения от $0$ до $\pi$, а $x$ принимает значения от $0$ до $a$ — положение иглы однозначно задаётся ей параметрами (длина, угол, расстояние до прямой). Другими словами, наша игла может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами $\pi$ и $a$.
Понятно, что когда $x \leq l \cdot \sin \varphi$ (серая область на рисунке), наша игла точно пересечёт нашу прямую.
Это верно исходя из прямоугольного треугольника с катетом $x$, противолежащим ему углом $\varphi$ и гипотенузой $l$.
Вероятностный рисунок
Площадь серой фигуры будет равна следующему интегралу:
$$ S = \int\limits_{0}^{\pi} l \cdot \sin \varphi d\varphi = l \cdot (-\cos \varphi) \bigg|_{0}^{\pi} = 2l
$$
Следовательно, вероятностью нашего события будет:
$$ P(A) = \frac{S}{\pi \cdot a} = \frac{2 \cdot l}{\pi \cdot a} $$