Алгебра событий

<aside> 🎲 Опр: $\Omega$ - пространство событий. Множество $S \subseteq 2^{\Omega}$ называется алгеброй событий, если выполнены три условия/аксиомы:

1. $\Omega \in S$
2. Если для какого-то $A \subset \Omega$ выполнено, что $A \in S$, то и $\overline{A} \in S$
3. Если для каких-то $A, B \subset \Omega$ выполнено, что $A, B \in S$, то и $A \cup B \in S$ </aside>

Свойства алгебры событий:

1. Пустое множество $\oslash$ принадлежит $S$

   Доказывается из $А1$ и $А2$ $\left( \Omega \in S \Rightarrow \overline{\Omega} = \oslash \in S\right)$

2. Если конечное число событий $A_1, \ldots, A_n \in S \Rightarrow \bigcup\limits_{k=1}^n A_k \in S$

3. Если для каких-то $A, B \subset \Omega$ выполнено, что $A, B \in S$, то и $A \cap B \in S$

   Доказывается через дополнение и объединение: $A \cap B = \overline{\overline{A} \cup \overline{B}}$

Примеры алгебр событий:

1. $S = \{ \Omega, \oslash\}$

2. $S = 2^\Omega$

3. $S = \{ \Omega, \oslash, A, \overline{A}\}$ — алгебра, порождённая событием $A$

4. В качестве $\Omega$ возьмём отрезов $[a, b]$, возьмём точки $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n$ следующим образом: $a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n < x_{n+1} = b$

   В качестве элементов $S$ будем рассматривать всевозможные объединения полуинтервалов вида $[x_k, x_{k+1})$.

$\sigma$-алгебра событий

<aside> 🎲 Опр: $\Omega$ - пространство событий. Множество $S \subseteq 2^{\Omega}$ называется $\sigma$-алгеброй событий, если выполнены три условия/аксиомы:

1. $\Omega \in S$
2. Если для какого-то $A \subset \Omega$ выполнено, что $A \in S$, то и $\overline{A} \in S$
3. Если для какого-то счётного числа событий из $\Omega$ выполнено, что $A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in S$, то выполнено, что и их $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in S$ </aside>

Борелевская $\sigma$-алгебра

Названа в честь Эмиля Бореля

<aside> 📕 Минимальная $\sigma$-алгебра на пространстве $\Omega$, содержащей набор множеств $U$ — это пересечение всех $\sigma$-алгебр, содержащих $U$.

</aside>

Упражнение: Пересечение двух $\sigma$-алгебр есть $\sigma$-алгебра.

• Доказательство

Борелевская $\sigma$-алгебра на числовой прямой

<aside> 📕 Борелевская $\sigma$-алгебра на прямой — это минимальная $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы $(a, b) \subset \R$.

</aside>