<aside> 📕 Вероятность $A$ при условии $B$ (что событие $B$ произошло):
$$ P(A | B) = \frac{P(A\cdot B)}{P(B)} $$
Обозначается, как $P_B(A)$
</aside>
Свойства условной вероятности:
Неотрицательность такой вероятности следует из определения: $P(A | B) = \frac{P(A\cdot B)}{P(B)}$
Вероятность $P(\Omega \ | \ B) = \frac{P(\Omega \cdot B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ (нормировка)
Счётная аддитивность — вероятность суммы равна сумме вероятностей: $\forall A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in S, \quad A_i \cdot A_j = 0 \Rightarrow P\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \ | \ B\right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} P(A_n \ | \ B)$
$$ P\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \ | \ B\right) = \frac{P\left(\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \right) \cdot B\right)}{P(B)} = \frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty} P(A_n \cdot B)}{P(B)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} P(A_n \ | \ B) $$
$$ P(A \cdot B) = P(A \ | \ B) \cdot P(B) $$
Для трёх событий A, B, C:
$$ P(A \ | \ B C) = \frac{P(A \cdot B \cdot C)}{P(B \cdot C)} \\ \Rightarrow P(A \cdot B \cdot C) = P(A \ | \ B \cdot C) \cdot P(B | C) \cdot P(C) $$
В общем случае:
<aside> 📕 Вероятность произведения $n$ событий:
$$ P(A_1 \cdot A_2 \cdot \ldots \cdot A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 \ | \ A_1) \cdot P(A_3 \ | \ A_1 \cdot A_2) \cdot \ldots \cdot P(A_n \ | \ A_1 \cdot A_2 \cdot \ldots \cdot A_{n-1}) $$
</aside>